[Java] 백준 11660번 : 구간 합 구하기 5

문제

N×N개의 수가 N×N 크기의 표에 채워져 있다. (x1, y1)부터 (x2, y2)까지 합을 구하는 프로그램을 작성하시오. (x, y)는 x행 y열을 의미한다.

예를 들어, N = 4이고, 표가 아래와 같이 채워져 있는 경우를 살펴보자.

1	2	3	4
2	3	4	5
3	4	5	6
4	5	6	7

여기서 (2, 2)부터 (3, 4)까지 합을 구하면 3+4+5+4+5+6 = 27이고, (4, 4)부터 (4, 4)까지 합을 구하면 7이다.

표에 채워져 있는 수와 합을 구하는 연산이 주어졌을 때, 이를 처리하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 표의 크기 N과 합을 구해야 하는 횟수 M이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1024, 1 ≤ M ≤ 100,000) 둘째 줄부터 N개의 줄에는 표에 채워져 있는 수가 1행부터 차례대로 주어진다. 다음 M개의 줄에는 네 개의 정수 x1, y1, x2, y2 가 주어지며, (x1, y1)부터 (x2, y2)의 합을 구해 출력해야 한다. 표에 채워져 있는 수는 1,000보다 작거나 같은 자연수이다. (x1 ≤ x2, y1 ≤ y2)

출력

총 M줄에 걸쳐 (x1, y1)부터 (x2, y2)까지 합을 구해 출력한다.

예제 입력 1

4 3
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
4 5 6 7
2 2 3 4
3 4 3 4
1 1 4 4

예제 출력 1

27
6
64

예제 입력 2

2 4
1 2
3 4
1 1 1 1
1 2 1 2
2 1 2 1
2 2 2 2

예제 출력 2

1
2
3
4

 

소스코드

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.StringTokenizer;

public class Main {

	private static BufferedReader bf;
	private static StringTokenizer st;
	
	private static int N, M;
	private static int [][]map;
	private static long [][]dp;
	
	public static void main(String[] args) throws IOException {

		bf=new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
		st=new StringTokenizer(bf.readLine());
		N=Integer.parseInt(st.nextToken());
		M=Integer.parseInt(st.nextToken());
		map=new int[N+1][N+1];
		dp=new long[N+1][N+1];
		
		for(int r=1;r<=N;r++) {
			st=new StringTokenizer(bf.readLine());
			for(int c=1;c<=N;c++) {
				map[r][c]=Integer.parseInt(st.nextToken());
			}
		}
		for(int r=1;r<=N;r++) {
			for(int c=1;c<=N;c++) {
				if(r==1) dp[r][c]=dp[r][c-1]+map[r][c];
				else if(c==1) dp[r][c]=dp[r-1][c]+map[r][c];
				else dp[r][c]=dp[r-1][c]+dp[r][c-1]-dp[r-1][c-1]+map[r][c];
			}
		}
		for(int i=0;i<M;i++) {
			st=new StringTokenizer(bf.readLine());
			int x1=Integer.parseInt(st.nextToken());
			int y1=Integer.parseInt(st.nextToken());
			int x2=Integer.parseInt(st.nextToken());
			int y2=Integer.parseInt(st.nextToken());
			long result=dp[x2][y2]-dp[x1-1][y2]-dp[x2][y1-1]+dp[x1-1][y1-1];
			
			System.out.println(result);
		}
	}

}

시간 초과 이슈를 해결하려면 dp를 이용해야 하는 문제입니다. dp 규칙을 찾는게 쉽지 않았으나 아이디어를 떠올리면 구현은 어렵지 않았습니다.

위 그림에 의해 식을 일반화 및 정리하면 아래와 같은 식을 얻을 수 있습니다.

 

1) i==1 : dp[i][j] = dp[i][j-1] + map[i][j]

2) j==1 : dp[i][j] = dp[i-1][j] + map[i][j]

3) dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-1][j] - dp[i-1][j-1] + map[i][j]

 

그리고 이 값을 이용하여 구하고자 하는 결과값을 구해주기 위해서는 끝점까지의 합에서 시작점 이전의 값들을 빼주어야 합니다. 즉 위 그림에서 검은색으로 칠한 1*1 크기의 사각형을 시작점이라 한다면 아래와 같은 식을 구할 수 있습니다.

 

result = dp[x2][y2] - dp[x1-1][y2] - dp[x2][y1-1] +dp[x1-1][y1-1]