다이나믹 프로그래밍(Dynamic Programming)
-다이나믹 프로그래밍은 메모리를 적절히 사용하여 수행 시간 효율성을 비약적으로 향상시키는 방법입니다.
-이미 계산된 결과(작은 문제)는 별도의 메모리 영역에 저장하여 다시 계산하지 않도록 합니다.
-다이나믹 프로그래밍의 구현은 일반적으로 두 가지 방식(탑다운과 보텀업)으로 구성됩니다.
-다이나믹 프로그래밍은 동적 계획법이라고도 부릅니다.
-일반적인 프로그래밍 분야에서의 동적(Dynamic)이란 어떤 의미를 가질까요?
- 자료구조에서 동적 할당(Dynamic Allocation)은 '프로그램이 실행되는 도중에 실행에 필요한 메모리를 할당하는 기법'을 의미합니다.
- 반면에 다이나믹 프로그래밍에서 '다이나믹'은 별다른 의미 없이 사용된 단어입니다.
-다이나믹 프로그래밍은 문제가 다음의 조건을 만족할 때 사용할 수 있습니다.
- 최적 부분 구조(Optimal Substructure) : 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있습니다.
- 중복되는 부분 문제(Overlapping Subproblem) : 동일한 작은 문제를 반복적으로 해결해야 합니다.
메모이제이션(Memoization)
-메모이제이션은 다이나믹 프로그래밍을 구현하는 방법 중 하나입니다.
-한 번 계산한 결과를 메모리 공간에 메모하는 기법입니다.
- 같은 문제를 다시 호출하면 메모했던 결과를 그대로 가져옵니다.
- 값을 기록해 놓는다는 점에서 캐싱(Caching)이라고도 합니다.
탑다운 VS 보텀업
-탑다운(메모이제이션) 방식은 하향식이라고도 하며 보텀업 방식은 상향식이라고도 합니다.
-다이나믹 프로그래밍의 전형적인 형태는 보텀업 방식입니다. 결과 저장용 리스트는 DP 테이블이라고 부릅니다.
-엄밀히 말하면 메모이제이션은 이전에 계산된 결과를 일시적으로 기록해 놓는 넓은 개념을 의미합니다.
- 따라서 메모이제이션은 다이나믹 프로그래밍에 국한된 개념은 아닙니다.
- 한 번 계산된 결과를 담아 놓기만 하고 다이나믹 프로그래밍을 위해 활용하지 않을 수도 있습니다.
피보나치 수열
-피보나치 수열은 다음과 같은 형태의 수열이며, 다이나믹 프로그래밍으로 효과적으로 계산할 수 있습니다.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...-점화식 : 인접한 항들 사이의 관계식
-피보나치 수열을 점화식으로 표현하면 다음과 같습니다.
a(n) = a(n-1) + a(n-2)
a(1) = 1, a(2) = 1-피보나치 수열이 계산되는 과정은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
- 프로그래밍에서는 이러한 수열을 배열이나 리스트로 표현합니다.
- n번째 피보나치 수를 f(n)라고 할 때 4번째 피보나치 수 f(4)를 구하는 과정은 다음과 같습니다.
단순 재귀 소스코드
# 피보나치 함수(Fibonacci Function)을 재귀함수로 구현
def fibo(x):
if x == 1 or x == 2:
return 1
return fibo(x - 1) + fibo(x - 2)
print(fibo(4))
피보나치 수열의 시간 복잡도 분석
-단순 재귀 함수로 피보나치 수열을 해결하면 지수 시간 복잡도를 가지게 됩니다.
-다음과 같이 f(2)가 여러 번 호출되는 것을 확인할 수 있습니다. (중복되는 부분 문제)
-피보나치 수열의 시간 복잡도는 다음과 같습니다.
- 세타 표기법 : Θ(1.618...^N)
- 빅오 표기법 : O(2^N)
-빅오 표기법을 기준으로 f(30)을 계산하기 위해 약 10억 가량의 연산을 수행해야 합니다.
피보나치 수열의 효율적인 해법 : 다이나믹 프로그래밍
-다이나믹 프로그래밍의 사용 조건을 만족하는지 확인합니다.
- 최적 부분 구조(Optimal Substructure) : 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있습니다.
- 중복되는 부분 문제(Overlapping Subproblem) : 동일한 작은 문제를 반복적으로 해결해야 합니다.
-피보나치 수열은 다이나믹 프로그래밍의 사용 조건을 만족합니다.
피보나치 수열 : 탑다운 다이나믹 프로그래밍 소스코드
# 한 번 계산된 결과를 메모이제이션(Memoization)하기 위한 리스트 초기화
d = [0] * 100
# 피보나치 함수(Fibonacci Function)를 재귀함수로 구현(탑다운 다이나믹 프로그래밍)
def fibo(x):
# 종료 조건(1 혹은 2일 때 1을 반환)
if x == 1 or x == 2:
return 1
# 이미 계산한 적 있는 문제라면 그대로 반환
if d[x] != 0:
return d[x]
# 아직 계산하지 않은 문제라면 점화식에 따라서 피보나치 결과 반환
d[x] = fibo(x - 1) + fibo(x - 2)
return d[x]
print(fibo(99))
피보나치 수열 : 보텀업 다이나믹 프로그래밍 소스코드
# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 100
# 첫 번째 피보나치 수와 두 번째 피보나치 수는 1
d[1] = 1
d[2] = 1
n = 99
# 피보나치 함수(Fibonacci Function) 반복문으로 구현(보텀업 다이나믹 프로그래밍)
for i in range(3, n + 1):
d[i] = d[i -1] + d[i - 2]
print(d[n])
피보나치 수열 : 메모이제이션 동작 분석
-이미 계산된 결과를 메모리에 저장하면 다음과 같이 색칠된 노드만 처리할 것을 기대할 수 있습니다.
-메모이제이션을 이용하는 경우 피보나치 수열 함수의 시간 복잡도는 O(N)입니다.
다이나믹 프로그래밍 VS 분할 정복
-다이나믹 프로그래밍과 분할 정복은 모두 최적 부분 구조를 가질 때 사용할 수 있습니다.
- 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있는 상황
-다이나믹 프로그래밍과 분할 정복의 차이점은 부분 문제의 중복입니다.
- 다이나믹 프로그래밍 문제에서는 각 부분 문제들이 서로 영향을 미치며 부분 문제가 중복됩니다.
- 분할 정복 문제에서는 동일한 부분 문제가 반복적으로 계산되지 않습니다.
-분할 정복의 대표적인 예시인 퀵 정렬을 살펴봅시다.
- 한 번 기준 원소(Pivot)가 자리를 변경해서 자리를 잡으면 그 기준 원소의 위치는 바뀌지 않습니다.
- 분할 이후에 해당 피벗을 다시 처리하는 부분 문제는 호출하지 않습니다.
다이나믹 프로그래밍 문제에 접근하는 방법
-주어진 문제가 다이나믹 프로그래밍 유형임을 파악하는 것이 중요합니다.
-가장 먼저 그리디, 구현, 완전 탐색 등의 아이디어로 문제를 해결할 수 있는지 검토할 수 있습니다. 다른 알고리즘으로 풀이 방법이 떠오르지 않으면 다이나믹 프로그래밍을 고려해 봅니다.
-일단 재귀 함수로 비효율적인 완전 탐색 프로그램을 작성한 뒤에, (탑다운) 작은 문제에서 구한 답이 큰 문제에서 그대로 사용될 수 있으면 코드를 개선하는 방법을 사용할 수 있습니다.
-일반적인 코딩 테스트 수준에서는 기본 유형의 다이나믹 프로그래밍 문제가 출제되는 경우가 많습니다.
문제1 : 개미 전사
<문제 설명>
-개미 전사는 부족한 식량을 충당하고자 메뚜기 마을의 식량창고를 몰래 공격하려고 합니다. 메뚜기 마을에는 여러 개의 식량창고가 있는데 식량창고는 일직선으로 이어져 있습니다.
-각 식량창고에는 정해진 수의 식량을 저장하고 있으며 개미 전사는 식량창고를 선택적으로 약탈하여 식량을 빼앗을 예정입니다. 이때 메뚜기 정찰병들은 일직전상에 존재하는 식량창고 중에서 서로 인접한 식량창고가 공격받으면 바로 알아챌 수 있습니다.
-따라서 개미 전사가 정찰병에게 들키지 않고 식량창고를 약탈하기 위해서는 최소한 한 칸 이상 떨어진 식량창고를 약탈해야 합니다.
-예를 들어 식량창고 4개가 다음과 같이 존재한다고 가정합시다.
-이때 개미 전사는 두 번째 식량창고와 네 번째 식량창고를 선택했을 때 최댓값인 총 8개의 식량을 빼앗을 수 있습니다. 개미 전사는 식량창고가 이렇게 일직선상일 때 최대한 많은 식량을 얻기를 원합니다.
-개미 전사를 위해 식량창고 N개에 대한 정보가 주어졌을 때 얻을 수 있는 식량의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하세요.
<문제 해결 아이디어>
-예시를 확인해 봅시다. N = 4일 때, 다음과 같은 경우들이 존재할 수 있습니다.
- 식량을 선택할 수 있는 경우의 수는 다음과 같이 8가지입니다.
- 7번째 경우에서 8만큼의 식량을 얻을 수 있으므로 최적의 해는 8입니다.
-a(i) = i번째 식량창고까지의 최적의 해(얻을 수 있는 식량의 최댓값) 으로 정의한다면 다이나믹 프로그래밍을 적용할 수 있습니다.
-왼쪽부터 차례대로 식량창고를 턴다고 했을 때, 특정한 i번째 식량창고에 대해서 털지 안 털지의 여부를 결정하면, 아래 2가지 경우 중에서 더 많은 식량을 털 수 있는 경우를 선택하면 됩니다.
-a(i) : i번째 식량창고까지의 최적의 해(얻을 수 있는 식량의 최댓값)
-k(i) : i번째 식량창고에 있는 식량의 양
-점화식 : a(i) = max(a(i-1), a(i-2) + k(i))
-한 칸 이상 떨어진 식량창고는 항상 털 수 있으며, 앞에서 이미 고려되었으므로 (i - 3)번째 이하는 고려할 필요가 없습니다.
<소스코드>
# 정수 N을 입력 받기
n = int(input())
# 모든 식량 정보 입력 받기
array = list(map(int, input().split()))
# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 100
# 다이나믹 프로그래밍(Dynamic Programming) 진행(보텀업)
d[0] = array[0]
d[1] = max(array[0], array[1])
for i in range(2, n):
d[i] = max(d[i - 1], d[i - 2] + array[i])
# 계산된 결과 출력
print(d[n - 1])
문제2 : 1로 만들기
<문제 설명>
-정수 X가 주어졌을 때, 정수 X에 사용할 수 있는 연산은 다음과 같이 4가지입니다.
- X가 5로 나누어 떨어지면, 5로 나눕니다.
- X가 3으로 나누어 떨어지면, 3으로 나눕니다.
- X가 2로 나누어 떨어지면, 2로 나눕니다.
- X에서 1을 뺍니다.
-정수 X가 주어졌을 때, 연산 4개를 적절히 사용해서 값을 1로 만들고자 합니다. 연산을 사용하는 횟수의 최솟값을 출력하세요. 예를들어 정수가 26이면 다음과 같이 계산해서 3번의 연산이 최솟값입니다.
<문제 해결 아이디어>
-피보나치 수열 문제를 도식화한 것처럼 함수가 호출되는 과정을 그림으로 그려보면 다음과 같습니다. 최적 부분 구조와 중복되는 부분 문제를 만족합니다.
-a(i) = i를 1로 만들기위한 최소 연산 횟수
-점화식 : a(i) = min(a(i - 1), a(i/2), a(i/3), a(i/5)) + 1
-단, 1을 빼는 연산을 제외하고는 해당 수로 나누어떨어질 때에 한해 점화식을 적용할 수 있습니다.
<소스코드>
# 정수 X를 입력 받기
x = int(input())
# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 30001
# 다이나믹 프로그래밍(Dynamic Programming) 진행(보텀업)
for i in range(2, x + 1):
# 현재의 수에서 1을 빼는 경우
d[i] = d[i - 1] + 1
# 현재의 수가 2로 나누어 떨어지는 경우
if i % 2 == 0:
d[i] = min(d[i], d[i // 2] + 1)
# 현재의 수가 3으로 나누어 떨어지는 경우
if i % 3 == 0:
d[i] = min(d[i], d[i // 3] + 1)
# 현재의 수가 5로 나누어 떨어지는 경우
if i % 5 == 0:
d[i] = min(d[i], d[i // 5] + 1)
print(d[x])
문제3 : 효율적인 화폐 구성
<문제 설명>
-N가지 종류의 화폐가 있습니다. 이 화폐들의 개수를 최소한으로 이용해서 그 가치의 합이 M원이 되도록 하려고 합니다. 이때 각 종류의 화폐는 몇 개라도 사용할 수 있습니다.
-예를 들어 2원, 3원 단위의 화폐가 있을 때는 15원을 만들기 위해 3원을 5개 사용하는 것이 가장 최소한의 화폐 개수입니다.
-M원을 만들기 위한 최소한의 화폐 개수를 출력하는 프로그램을 작성하세요.
<문제 해결 아이디어>
-a(i) : 금액 i를 만들 수 있는 최소한의 화폐 개수
-k : 각 화폐의 단위
-점화식 : 각 화폐 단위인 k를 하나씩 확인하며
- a(i - k)를 만드는 방법이 존재하는 경우, a(i) = min(a(i), a(i - k) + 1)
- a(i - k)를 만드는 방법이 존재하지 않는 경우, a(i) = INF
-N = 3, M = 7이고, 각 화폐의 단위가 2, 3, 5인 경우를 확인해 봅시다.
- Step 0(초기화)
- 먼저 각 인덱스에 해당하는 값으로 INF(무한)의 값을 설정합니다.
- INF은 특정 금액을 만들 수 있는 화폐 구성이 가능하지 않다는 의미를 가집니다.
- 본 문제에서는 10,001을 사용할 수 있습니다.
- Step 1
- 첫 번째 화폐 단위인 2를 확인합니다.
- 점화식에 따라서 다음과 같이 리스트가 갱신됩니다.
- Step 2
- 두 번째 화폐 단위인 3을 확인합니다.
- 점화식에 따라서 다음과 같이 리스트가 갱신됩니다.
- Step 3
- 세 번째 화폐 단위인 5를 확인합니다.
- 점화식에 따라서 다음과 같이 최종적으로 리스트가 갱신됩니다.
<소스코드>
# 정수 N, M을 입력 받기
n, m = map(int, input().split())
# N개의 화폐 단위 정보를 입력받기
array = []
for i in range(n):
array.append(int(input()))
# 한 번 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [10001] * (m + 1)
# 다이나믹 프로그래밍(Dynamic Programming) 진행(보텀업)
d[0] = 0
for i in range(n): # i는 각각의 화폐 단위
for j in range(array[i], m + 1): # j는 각각의 금액
if d[j-array[i]] != 10001: # (i - k)원을 만드는 방법이 존재하는 경우
d[j] = min(d[j], d[j - array[i]] + 1)
# 계산된 결과 출력
if d[m] == 10001: # 최종적으로 M원을 만드는 방법이 없는 경우
print(-1)
else:
print(d[m])
문제4 : 금광
<문제 설명>
-n x m 크기의 금광이 있습니다. 금광은 1 x 1 크기의 칸으로 나누어져 있으며, 각 칸은 특정한 크기의 금이 들어 있습니다.
-채굴자는 첫 번째 열부터 출발하여 금을 캐기 시작합니다. 맨 처음에는 첫 번째 열의 어느 행에서든 출발할 수 있습니다. 이후에 m - 1번에 걸쳐서 매번 오른쪽 위, 오른쪽, 오른쪽 아래 3가지 중 하나의 위치로 이동해야 합니다. 결과적으로 채굴자가 얻을 수 있는 금의 최대 크기를 출력하는 프로그램을 작성하세요.
<문제 해결 아이디어>
-금광의 모든 위치에 대하여 다음의 세 가지만 고려하면 됩니다.
- 왼쪽 위에서 오는 경우
- 왼쪽 아래에서 오는 경우
- 왼쪽에서 오는 경우
-세 가지 경우 중에서 가장 많은 금을 가지고 있는 경우를 테이블에 갱신해주어 문제를 해결합니다.
-array[i][j] : i행 j열에 존재하는 금의 양
-dp[i][j] : i행 j열까지의 최적의 해(얻을 수 있는 금의 최댓값)
-점화식 : dp[i][j] = array[i][j] + max(dp[i - 1][j - 1], dp[i][j - 1], dp[i + 1][j - 1])
-이때 테이블에 접근할 때마다 리스트의 범위를 벗어나지 않는지 체크해야 합니다.
-편의상 초기 데이터를 담는 변수 array를 사용하지 않아도 됩니다. 바로 DP 테이블에 초기 데이터를 담아서 다이나믹 프로그래밍을 적용할 수 있습니다.
-금광 문제를 다이나믹 프로그래밍으로 해결하는 과정을 확인합시다.
<소스코드>
# 테스트 케이스(Test Case) 입력
for tc in range(int(input())):
# 금광 정보 입력
n, m = map(int, input().split())
array = list(map(int, input().split()))
# 다이나믹 프로그래밍을 위한 2차원 DP 테이블 초기화
dp = []
index = 0
for i in range(n):
dp.append(array[index:index + m])
index += m
# 다이나믹 프로그래밍 진행
for j in range(1, m): # j는 열
for i in range(n): # i는 행
# 왼쪽 위에서 오는 경우
if i == 0: left_up = 0
else: left_up = dp[i - 1][j - 1]
# 왼쪽 아래에서 오는 경우
if i == n - 1: left_down = 0
else: left_down = dp[i + 1][j - 1]
# 왼쪽에서 오는 경우
left = dp[i][j - 1]
dp[i][j] = dp[i][j] + max(left_up, left_down, left)
result = 0
for i in range(n):
result = max(result, dp[i][m - 1])
print(result)
문제5 : 병사 배치하기
<문제 설명>
-N명의 병사가 무작위로 나열되어 있습니다. 각 병사는 특정한 값의 전투력을 보유하고 있습니다.
-병사를 배치할 때는 전투력이 높은 병사가 앞쪽에 오도록 내림차순으로 배치를 하고자 합니다. 다시 말해 앞쪽에 있는 병사의 전투력이 항상 뒤쪽에 있는 병사보다 높아야 합니다.
-또한 배치 과정에서는 특정한 위치에 있는 병사를 열외시키는 방법을 이용합니다. 그러면서도 남아 있는 병사의 수가 최대가 되도록 하고 싶습니다.
-예를 들어, N = 7일 때 나열된 병사들의 전투력이 다음과 같다고 가정하겠습니다.
-이때 3번 병사와 6번 병사를 열외시키면, 다음과 같이 남아 있는 병사의 수가 내림차순의 형태가 되며 5명이 됩니다. 이는 남아 있는 병사의 수가 최대가 되도록 하는 방법입니다.
-병사에 대한 정보가 주어졌을 때, 남아 있는 병사의 수가 최대가 되도록 하기 위해서 열외시켜야 하는 병사의 수를 출력하는 프로그램을 작성하세요.
<문제 해결 아이디어>
-이 문제의 기본 아이디어는 가장 긴 증가하는 부분 수열(Longest Increasing Subsequence, LIS)로 알려진 전형적인 다이나믹 프로그래밍 문제의 아이디어와 같습니다.
-예를 들어 하나의 수열 array = {4, 2, 5, 8, 4, 11, 15}가 있다고 합시다. 이 수열의 가장 긴 증가하는 부분 수열은 {4, 5, 8, 4, 11, 15}입니다.
-본 문제는 가장 긴 감소하는 부분 수열을 찾는 문제로 치환할 수 있으므로, LIS 알고리즘을 조금 수정하여 적용함으로써 정답을 도출할 수 있습니다.
-가장 긴 증가하는 부분 수열(LIS) 알고리즘을 확인해 봅시다.
-D[i] : array[i]를 마지막 원소로 가지는 부분 수열의 최대 길이
-점화식 : 모든 0 <= j < i에 대하여, D[i] = max(D[i], D[j] + 1) if array[j] < array[i]
-문제의 답을 찾기 위해서는 가장 긴 감소하는 부분 수열을 계산해야 하므로, 가장 먼저 입력 받은 병사 정보의 순서를 뒤집습니다.
-가장 긴 증가하는 부분 수열(LIS) 알고리즘을 수행하여 정답을 도출합니다.
<소스코드>
n = int(input())
array = list(map(int, input().split()))
# 순서를 뒤집어 '최장 증가 부분 수열' 문제로 변환
array.reverse()
# 다이나믹 프로그래밍을 위한 1차원 DP 테이블 초기화
dp = [1] * n
# 가장 긴 증가하는 부분 수열(LIS) 알고리즘 수행
for i in range(1, n):
for j in range(0, i):
if array[j] < array[i]:
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
# 열외해야 하는 병사의 최소 수를 출력
print(n - max(dp))
출처 : 이것이 취업을 위한 코딩 테스트다
'코딩테스트 > 다이나믹 프로그래밍(Dynamic Programming))' 카테고리의 다른 글
| [Python] 백준 10844번 : 쉬운 계단 수 (0) | 2021.11.30 |
|---|---|
| [Python] 백준 9095번 : 1, 2, 3 더하기 (0) | 2021.11.29 |
| [Python] 백준 11727번 : 2xn 타일링 2 (0) | 2021.11.29 |
| [Python] 백준 11726번 : 2xn 타일링 (0) | 2021.11.29 |
| [Python] 백준 1463번 : 1로 만들기 (0) | 2021.11.29 |